# Algebra

Academic Year 2023/2024 - Teacher: Marco D'ANNA

## Expected Learning Outcomes

The student of this course will be able to formalize a problem and uderstand the setting where to look for possible solutions. The student will also learn to make abstract argomentations and how to translate a particular problem in a more general setting.

## Course Structure

In the course the will be lectures and exercises, given at the blackboard by the teacher, and class exercises. Ussually the lecturer alternates exercises and theoretical parts in the same day. As for class exercises, the lecturer gives some exercises to the students, that have to try to solve them working in small groups; the lecturer helps the students to find the proper way to appoach the exercises. Together with the lecturers of Analysis and Geometry some joint lectures will take place, in order to let the students better understand the connetions between these subjects and the unity of mathematical knowledge.

Should teaching be carried out in mixed mode or remotely, it may be necessary to introduce changes with respect to previous statements, in line with the programme planned and outlined in the syllabus.

## Detailed Course Content

First part (about one third of the course)

a) Elementary set theory.

Sets and operations between sets. Functions. Relations. Equivalence relations. Order relations.

b) Numbers.

Natural numbers.Induction.

Cardinality. Numeralbe sets. |A| < |P(A)|=|2A|. Not numerable sets.

Integers. Greatest common divisor and euclidean algorithm. Bézout identity. Factorization in Z and some consequences. Rational numbers.

Congruence classes. Divisibility criterions. Linear congruences. Euler function and Euler-Fermat theorem.

Real numebres as an ordered field. Complex numbers. Roots of a complex number.

Second part: algebraic structures theory.

a) Ring theory (about one third of the course)

First definitions and examples. Integral domains and fields. Subrings. Homomorphisms. Ideals. Quotients. Homomorphism theorems. Ideal generated by a subset. Prime and maximal ideals. Embedding of a domain in a field and the filed of fractions. Polynomial rings. Polynomial functions and polynomials. Ruffini theorem. Euclidean domains, PID, UFD and relations between these classes. Division between polynomials over a field. Prime and irreducible elements. Bézout identity. GCD and mcm. Gauss lemma and Gauss theorem for A[X], with A UFD. Irreducibility in A[X]. Eisenstein criterion. Irreducibility passing to quotients.

b) Groups theory (about one third of the course)

First definitions and examples. Subgroups. Cyclic groups. Permutations groups. Lagrange theorem. Normal subgroups and quotients. Homomorphisms and related theorems. Cayley's theorem. Action of a group on a set: orbits and stabilizator. Coniugacy classes. Cauchy theorem and Sylow's theorems. Direct sum of groups. Classifications theorem for finite abelian groups.

## Textbook Information

1. G. Piacentini Cattaneo - Algebra - Zanichelli.

2. A. Ragusa - Corso di Algebra (Un approccio amichevole) - Aracne Ed.

3. M. Fontana - S. Gabelli - Insiemi numeri e polinomi - CISU

## Course Planning

SubjectsText References
1Insiemi e operazioni tra insiemi. 2
2Funzioni o applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di applicazioni. 2
3Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti. 2
4Relazioni d'ordine. Massimi e minimi, elementi minimali e massimali, maggioranti e minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore.2
5I numeri naturali. Il principio di induzione. 2
6Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| < |P(A)|=|2A|. Potenza del continuo.2
7Lemma di Zorn e assioma della scelta (cenni)3
8I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo. Identità di Bézout. Minimo comune multiplo.2
9I numeri razionali. La struttura di campo ordinato di Q. 2
10Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni. Criteri di divisibilità. Risoluzione di congruenze lineari 2
11La funzione di Eulero e il teorema di Eulero-Fermat. 2
12Cenno sui numeri reali come campo ordinato. 2
13I numeri complessi. Forme algebriche e trigonometriche dei numeri complessi. Radici dei numeri complessi. Le radici complesse dell'unità. Il Teorema fondamentale dell'Algebra. 2
14Anelli: prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi. Sottoanelli. 2 oppure 1
15Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anelli quozienti. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Sottoanelli ed ideali rispetto ad un omomorfismo. 2 oppure 1
16Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi ed ideali massimali. Esistenza di ideali massimali.2 oppure 1
17Immersione di un dominio in un campo. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità. 2 oppure 1
18Funzioni polinomiali e polinomi. Divisione tra polinomi su un campo: l'algoritmo di divisione. 2
19Domini euclidei. Domini ad ideali principali. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione. Confronto tra gli anelli studiati e loro applicazioni. 2 oppure 1
20Elementi primi ed irriducibili. Identità di Bézout. MCD e mcm. Lemma di Gauss e Teorema di Gauss per A[x], con A UFD. 2 oppure 1
21Questioni di irriducibilità in A[X]. Il criterio di Eisenstein. Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.2
22Gruppi: prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. Gruppi ciclici.2
23Il gruppo simmetrico e il gruppo alterno. I gruppi diedrali. 2
24Classi laterali e Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi. Relazioni tra sottogruppi in un omomorfismo. I teoremi dell'omomorfismo e dell'isomorfismo.2
25Il Teorema di Cayley.1
26L'azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di coniugio ed equazione di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. 2
27Il Teorema di Cauchy ed i Teoremi di Sylow. 2
28Somma diretta di gruppi. Teorema sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti.2