ANALISI SUPERIORE
Anno accademico 2018/2019 - 2° anno - Curriculum CCrediti: 9
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 152 di studio individuale, 49 di lezione frontale, 24 di esercitazione
Semestre: 2°
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un corredo di conoscenze sulle equazioni differenziali ordinarie che si snoda principalemente sulle seguenti due direttrici: soluzioni generalizzate del problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine in spazi di Banach; studio dei problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine mediante i metodi variazionali.
Sarà stimolata la capacità dello studente di applicare la conoscenza e comprensione della teoria man mano costruita a specifici problemi.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Il corso si svolgerà attraverso lezioni frontali.
Prerequisiti richiesti
I prerequisiti richiesti si possono individuare nei contenuti dei corsi di Analisi I e II, di Istituzioni di Analisi Superiore e di Topologia generale, nonchè nelle nozioni di base di Algebra lineare.
Frequenza lezioni
La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.
Contenuti del corso
1. Teorema del ricoprimento di Vitali. Funzioni a variazione limitata e loro derivabilità. Funzioni assolutamente continue. Formula fondamentale del calcolo integrale.
2. Calcolo differenziale ed integrale per funzioni a valori in uno spazio di Banach. Integrabilità secondo Bochner.
3. Equazioni differenziali ordinarie in spazi di Banach. Funzioni di Carathéodory. Misura di non compattezza di Kuratowski.
4. Derivabilità secondo Gateaux e secondo Fréchet per funzionali su spazi di Banach.
5. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile reale.
6. Formulazione variazionale dei problemi di Dirichlet, di Neumann e del probelma periodico per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Teoremi di esistenza, di unicità e di molteplicità delle soluzioni.
Testi di riferimento
1. E. Hille - R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, 1957.
2. E. Hewitt - K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer, 1975.
3. H. Brézis, Analisi funzionale, Liguori Editore, 1995.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Funzioni a variazione limitata (5 ore) | 2 |
| 2 | Funzioni assolutamente continue (5 ore) | 2 |
| 3 | Calcolo differenziale ed integrale per funzioni a valori in uno spazio di Banach (15 ore) | 1 |
| 4 | Integrabilità secondo Bochner (7 ore) | 1 |
| 5 | Equazioni differenziali ordinarie negli spazi di Banach (20 ore) | 1 |
| 6 | Formulazione variazionale di problemi ai limiti (20 ore) | 3 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione).
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Derivabilità delle funzioni a variazione limitata.
Integrabilità secondo Bochner.
Formulazione variazionale di problemi ai limiti.