SISTEMI DINAMICI

Anno accademico 2023/2024 - Docente: Vittorio ROMANO

Risultati di apprendimento attesi

Fornire gli strumenti affinchè gli studenti possano formulare  modelli per semplici problemi tratti dalle scienze applicate  tramitei sistemi dinamici, discreti o continui, finito dimensionali. In particolare si studieranno sistemi lineari e non lineari. Si studierà la stabilità dei punti di equilibrio, l'esistenza di attrattori strani e gli insiemi frattali. 

-Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): gli studenti devono comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali relativi ai sistemi dinamici; conoscere e comprendere applicazioni di risultati matematici ai problemi delle scienze applicate; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento con la semplice costruzione di modelli concreti.

-Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute, costruzione di sistemi dinamici particolari a partire da modelli conosciuti; essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli. Le capacità di applicare conoscenza e comprensione saranno conseguite attraverso una modalità di insegnamento sempre incentrata sul metodo logico-deduttivo e volta alla presentazione e all'analisi dei più importanti modelli matematici delle scienze applicate.

-Autonomia di giudizio (making judgements): gli studenti a conclusione del corso devono essere in grado di proporre, analizzare e confrontare modelli matematici associati a situazioni concrete di moderata difficoltà derivanti da altre discipline, e di usare tali modelli per facilitare lo studio della situazione originale.

- Abilità comunicative (communication skills): sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, anche mediante l'ausilio di semplici strumenti multimediali; essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia.

-Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato le competenze necessarie per costruire semplici modelli con autonomia; avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali, con buona parte dedicata alle esercitazioni, completate da esemplificazioni in ambiente MATLAB.

Lezioni teoriche: 35 ore.

Esercitazioni: 12 ore.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a
distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto
a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. Filippo Stanco

Prerequisiti richiesti

Conoscenza di Analisi matematica I e II, teoria delle matrici, equazioni differenziali.

Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

Esemi di modelli basati su  sistemi dinamici, discreti o continui, finito dimensionali.

Sistemi dinamici lineari e non lineari

Punti di equilibrio e stabilità

Periodicità e caos

Frattali

Programma completo:

1. Esempi di sistemi dinamici:
conto bancario, oscillatore armonico, pendolo semplice, crescita
economica di uno stato, dinamica di una popolazione, modello di
Malthus, modello logistico, dinamica di due popolazioni biologiche,
modello preda - predatore.

2. Sistemi dinamici lineari. Sistemi di dimensione uno:
caso discreto e caso continuo.
Sistemi dinamici in dimensione maggiore di uno. Forme canonihe di Jordan.  Esponenziale di
una matrice. Stabilità e instabilità lineare. Rappresentazione
geometrica mediante campi vettoriali. 
Ritratti di fase in dimensione uno e due. Punto sella, nodo, fuoco,
centro, pozzo e sorgente.

3. Sistemi non lineari. Punti fissi: caso discreto e
continuo. Stabilità e instabilità dei punti fissi. Stabilità
globale. Linearizzazione. Punti di equilibrio iperbolici. Enunciati
dei teoremi della varietà stabile e di Hartman-Grobman. Sistemi
differenziali topologicamente equivalenti e topologicamente
coniugati. Esempi. Metodo di Lyapunov. Teorema di Lyapunov
(stabilità, instabilità e stabilità asintotica). Teorema di
Dirichlet-Lagrange. Sistemi gradiente. Insiemi alfa-limite e
omega-limite di una traettoria. Sistemi hamiltoniani e teorema della ricorrenza di Poincaré. Applicazioni
in dimensione due. Insiemi limiti e attrattori. Orbita limite.
Orbite periodiche, cicli limiti, cicli separatori. Ciclo limite
stabile, semi-stabile, instabile, asintoticamente stabile. Orbite
omocline ed eterocline.  Enunciato del teorema di
Poincaré-Bendixon.
Cenni di modelli matematici delle epidemie.

4. Sistemi non lineari, periodicità e caos. Sistemi
strutturalmente stabili e instabili. Sistemi dinamici continui.
Parametro di biforcazione. Diagramma di biforcazione. Biforcazione
sella-nodo, transcritica, a forchetta, di Hopf. Enunciato del
teorema di biforcazione di Hopf. Sistema di Lorenz, attrattore
strano. 

5. Frattali. Idea di frattale. Insieme di Cantor dei terzi
medi. Insieme di Cantor. Triangolo di Sierpinski. Fiocco di neve di
Koch. Contrazioni. Teorema di Banach-Caccioppoli. Norma spettrale.
Insiemi compatti e distanza di Hausdorff. 
Sistemi di funzioni Iterate (IFS). Applicazioni. Dimensione frattale, applicazioni.

6. Cenni sui metodi Runge-Kutta per equazioni differentiali ordinarie.

Testi di riferimento

1. E. Scheinerman, Invitation to Dynamical Systems, testo disponibile online: http://www.ams.jhu.edu/∼ers/invite/book.pdf

2. L. Perko, Differential equations and dynamical systems, 3rd ed. - New York: Springer-Verlag, 2001.

3. F. Ganthmaker, Lectures in Analytical Mechanics, MIR 1975.

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
11. Introduzione ai sistemi dinamici. Definizioni ed esempi: conto bancario, oscillatore armonico, pendolo semplice, dinamica di una popolazione, (modello di Malthus ed equazioni della logistica), dinamica di due popolazioni, (modello preda - predatore). 1
2Sistemi dinamici lineari. Sistemi di dimensione uno: caso discreto, metodo analitico, analisi grafica; caso continuo. Sistemi dinamici in dimensione maggiore di 1. Esponenziale di una matrice. Stabilità e instabilità lineare. Rappresentazione geometrica mediante campi vettoriali. Ritratti di fase. Punto sella, nodo, fuoco, centro, pozzo e sorgente.1,2,3
3 Sistemi non lineari. Punti fissi: caso discreto e continuo. Stabilità e instabilità dei punti critici. Linearizzazione. Punti di equilibrio iperbolici. Enunciati dei teoremi della varietà stabile e di Hartman-Grobman. Sistemi dinamici topologicamente equivalenti e topologicamente coniugati. Esempi. Metodo di Lyapunov. Teorema di Lyapunov (stabilità, instabilità e stabilità asintotica). Teorema di Dirichlet-Lagrange. Sistemi gradiente e di tipo hamiltoniano. Insiemi alfa-limite e omega-limite di una traettoria di un sistema dinamico.1,2,3
4Sistemi dinamici strutturalmente stabili e instabili. Sistemi dinamici continui. Biforcazioni. Diagramma di biforcazione. Biforcazione sella-nodo, transcritica, a forchetta, di Hopf. Enunciato del teorema di biforcazione di Hopf. Sistema di Lorenz, attrattore strano e caos.1,2
5Frattali. Insieme di Cantor dei terzi medi. Dimensione frattale. Triangolo di Sierpinski. Fiocco di neve di Koch. Contrazioni. Teorema di Banach-Caccioppoli.  Insiemi compatti e distanza di Hausdorff.  Sistemi di funzioni Iterate (IFS). Applicazioni. 1

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame prevede solo la parte orale.
Criteri per l’attribuzione del voto:  si terrà conto della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare i diversi argomenti.  Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di svolgere qualche  semplice esercizio sugli argomenti svolti.  
Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:
non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base;
18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce qualche semplice esercizio.
24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone,  risolve gli esercizi con pochi errori.
28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.
La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Esempi di sistemi dinamici. Punti stazionari.  Classificazione dei punti di equilbrio. Linearizzazione nel caso di punto stazionario iperbolico.  Teorema di Lyapunov. Teoremi di  instabilità. Mappa di Poincarè. Diagramma di biforcazione. Frattali.