GEOMETRIA II

Anno accademico 2023/2024 - Docente: Francesco RUSSO

Risultati di apprendimento attesi

L'obiettivo del corso è di consentire agli studenti di impadronirsi di teorie e tecniche relative all'  Algebra Lineare avanzata, alla geometria degli spazi affini e degli spazi proiettivi, alle ipersuperficie affini e proiettive.

Gli studenti impareranno ad applicare queste teorie e queste tecniche alla risoluzione di  problemi astratti e di  problemi concreti.

Al termine del corso   gli studenti saranno in grado di comprendere  enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali dell' Algebra Lineare (Teorema Spettrale, Teorema di Sylvester, proodotti scalari euclidei e hermitiani), della teoria degli spazi lineari affini e proiettivi nello spirito del Programma di Erlangen di F. Klein e della teoria delle ipersuperfici algebriche affini e proiettive (proprietà locali e globali, studio esplicito di curve nel piano e superfici dello spazio).

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L' insegnamento consiste di  lezioni frontali teoriche tenute dal docente, di esercitazioni pratiche e dello studio dettagliato di esempi, questi ultimi approfonditi  dal docente  oppure da docenti tutor in complemento al corso. 

Le esercitazioni pratiche prevedono una partecipazione cooperativa da parte degli studenti tramite lo svolgimento di semplici calcoli e deduzioni immediate per verificare il grado di comprensione degli argomenti trattati e quanto stiano effetivamente studiando gli argomenti teorici appresi.  Queste attività pratiche  assicurano di pari grado l' assimilazione dei contenuti del corso e la capacità di risolvere problemi concreti anche in vista del superamento della prova scritta e della prova orale.

Prerequisiti richiesti

Geometria I. 

(Fortemente consigliato ma non obbligatorio: Algebra)

Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso e sul Team. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma:

Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. Endomorfismi autoaggiunti, matrici normali e operatori normali, teorema spettrale per operatori normali.

Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività.

Generalità algebriche sui polinomi (omogenei). Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni tra le due teorie. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente e sua equazioni. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Testi di riferimento

a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino

b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.

Materiale didattico: Appunti di tutti gli argomenti del corso sono disponibili al seguente link: 

 https://drive.google.com/file/d/1pCkZRyqSCyawPybrHTLgh3gN8IQD4hca/view

Inoltre nel Team e  nella pagina internet si trovano vari esercizi e compiti assegnati negli anni precedenti, un buon numero con svolgimento completo, 

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
11. Forme bilineari, prodotto scalare generalizzatoa), note di corso
21. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare.a), note di corso
31. Endomorfismi autoaggiunti, matrici diagonalizzabili, teorema spettrale.a), note di corso
42. Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi.a), note di corso
52. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie.a), note di corso
62. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi.a), note di corso
72. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettivitàa), note di corso
83. Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente, spazio tangente e loro equazioni.Note di corso
93. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche.Note di corso

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta ed un colloquio orale.

La preparazione rigorosa alla prova scritta consentirà allo studente di applicare in esempli espliciti i potenti strumenti teorici appresi.

L' esame orale necessiterà di una esposizione chiara e precisa dei contenuti teorici sviluppati durante il corso, verificando la maturazione dell'apprendimento da parte dello studente e preparandolo ai corsi più avanzati e specializzati degli anni successivi.

Gli studenti che svolgono una prova scritta gravemente insufficiente sono invitati a non sostenere la prova orale e a ripetere la prova scritta.

L'esame orale è volto ad accertare la preparazione degli studenti, la loro capacità espositiva ed il grado di elaborazione dei contenuti raggiunto.

La valutazione dello scritto influisce decisamente sul voto finale dell'esame.

La prima prova in itinere si terrà durante la pausa  tra i semestri. Consiste di una prova scritta ed una prova orale sui contenuti del corso relativi al primo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.

La seconda prova in itinere si terrà a fine corso, di norma in concomitanza con il primo appello utile di giugno. Consiste di una prova scritta ed una prova orale, verterà sui contenuti del corso relativamente al secondo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.

La verifica dell' apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Sul Team del Corso e sul sito del docente esiste una pagina dedicata al corso dove e' possibile visualizzare le prove scritte assegnate negli anni precedenti.

Le domande nel colloquio orale  mirano ad accertare l' effettiva comprensione degli enunciati dei teoremi principali e delle loro applicazioni, piuttosto che sulla verifica di una nozionistica conoscenza delle dimostrazioni, e verranno formulate su alcuni degli argomenti del Programma mantenendo un equilibrio tra i contenuti di Algebra Lineare avanzata e quelli di Geometria.