TOPOLOGIA GENERALE

Anno accademico 2023/2024 - Docente: Angelo BELLA

Risultati di apprendimento attesi

Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Il corso fornisce una descrizione completa delle basi della Topologia Generale. Particolare enfasi verrà data alla discussione di esempi ed esercizi.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):  -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali  nell'ambito della Topologia generale; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti dagli studenti.

 Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) : dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute;  - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente  verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.

Autonomia di giudizio (making judgements) acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di topologia generale; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrono allo studente attività di esercitazione durante il corso; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto.

Abilità comunicative (communication skills) : - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi della Topologia; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di esempi ed esercizi. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.

Capacità di apprendimento (learning skills):  - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. Filippo Stanco

Prerequisiti richiesti

Familiarita' con la logica matematica elementare.

Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

La nozione di spazio topologico. Insiemi aperti e chiusi. Basi e sistemi fondamentali di intorni. Costruzione di una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilità. Funzioni continue ed omeomorfismi. Sottospazi e proprietà ereditarie. Prodotto di spazi topologici: il caso finito e il caso generale. Spazi quoziente. Spazi metrici e spazi metrizzabili. Assiomi di separazione. Spazi normali e lemma di Urysohn. Il teorema di estensione di Tietze. Spazi compatti e loro proprietà fondamentali. Il teorema di Tychonoff. Il teorema di immersione. Una caratterizzazione fondamentale della completa regolarità. La nozione di compattificazione. Spazi connessi e loro proprietà. La connessione di un prodotto. Spazi totalmente compatti e compattificazione di Aleksandroff.

Testi di riferimento

1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti durante il corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti e la monografia General Topology di R. Engelking.

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1La nozione di spazio topologico. 1
2Insiemi aperti e chiusi. Basi e sistemi fondamentali di intorni. 1
3Costruzione di una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilità. 1
4. Funzioni continue ed omeoformismi. Sottospazi e proprietà ereditarie.1
5Prodotto di spazi topologici: il caso finito e il caso generale. Spazi quoziente. Spazi metrici e spazi metrizzabili.1
6Assiomi di separazione. Spazi normali e lemma di Urysohn. Il teorema di estensione di Tietze1
7Spazi compatti e loro proprietà fondamentali. Il teorema di Tychonoff. Il teorema di immersione1
8Una caratterizzazione fondamentale della completa regolarità. La nozione di compattificazione. Spazi connessi e loro proprietà. 1
9La connessione di un prodotto. Spazi localmente compatti e compattificazione di Aleksandroff.1

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Basi di una topologia e loro proprietà.

La topologia prodotto. Spazi compatti ed esempi notevoli.