COMPLEX ANALYSIS AND INTEGRAL TRANSFORMS

Anno accademico 2023/2024 - Docente: Salvatore Angelo MARANO

Risultati di apprendimento attesi

Lo studente acquisirà la capacità di svolgere integrali definiti non elementarmente calcolabili mediante il teorema dei residui, sviluppare in serie di Fourier funzioni periodiche e trovare la somma di certe serie numeriche, calcolare le trasformate di Fourier e di Laplace di funzioni, risolvere sistemi di equazioni differenziali lineari, equazioni integrali o integro-differenziali mediante le trasformate di Laplace e di Fourier, nonché operare con semplici distribuzioni.

In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): saranno trattati  argomenti di base dell’Analisi Complessa e delle serie di Fourier, anche allo scopo di approfondire e unificare alcune nozioni e metodologie apprese nei precedenti corsi di Analisi Matematica. La parte inerente le trasformazioni di Fourier e di Laplace fornirà allo studente le conoscenze teoriche necessarie per applicare questi strumenti a importanti problemi, quali i sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari.

Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente imparerà a risolvere integrali definiti, generalizzati o impropri, non elementarmente calcolabili, con il metodo dei residui. Saprà comprendere la sviluppabilità e trovare lo sviluppo in serie di Fourier di funzioni periodiche, nonché calcolare la somma di certe serie numeriche, e imparerà ad applicare le trasformate di Fourier e di Laplace a importanti problemi concreti.

Autonomia di giudizio (making judgements): alla fine del corso lo studente sarà in grado di individuare lo strumento matematico più idoneo per calcolare un dato integrale, sviluppare in serie una funzione assegnata e risolvere un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Saprà inoltre giudicare quali dei concetti di base dell’Analisi Reale si estendono in modo naturale all’Analisi Complessa.

Abilità comunicative (communication skills): durante le lezioni gli studenti saranno costantemente invitati a intervenire, esprimendo il loro punto di vista, sia su argomenti teorici che sulle applicazioni. Ciò ha lo scopo di sviluppare il loro senso critico e l’intuito, nonché di abituarli a comunicare con un linguaggio matematicamente corretto.

Capacità  di apprendimento (learning skills): saranno stimolate e periodicamente verificate con esercitazioni in aula e semplici questioni di teoria da sviluppare individualmente.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

La verifica dell’apprendimento prevede una prova scritta e una prova orale. Entrambe potranno essere effettuate anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. Filippo Stanco

Prerequisiti richiesti

Aver superato l'esame di Analisi Matematica II.

Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

1. Funzioni periodiche, continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppi in serie di Fourier. Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, integrazione termine a termine. Calcolo delle somme di serie numeriche convergenti.

2. Derivazione e integrazione nel campo complesso. Formule di Cauchy, teorema di Liouville, dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra. Teorema di Hermite. Teorema di Laurent sulla sviluppabilità in serie bilatere di potenze. Punti singolari isolati, classificazione e caratterizzazioni. Calcolo dei residui nei poli, teorema dei residui e sue applicazioni.

3. Trasformazione di Fourier. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate delle funzioni rect(x), exp(-ax2) ed exp(-a|x|) con a>0, 1/(1+x2). Derivata e trasformata. Convoluzioni e loro trasformate. Formule di inversione.

4. Trasformazione di Laplace. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate delle funzioni H(t), sin(ωt), cos(ωt), [t]. Trasformate delle funzioni periodiche. Derivata e trasformata, teorema del valore finale. Convoluzioni e loro trasformate. Formula di inversione. Applicazioni ai sistemi di equazioni differenziali lineari e a coefficienti costanti.

5. Cenni sulle distribuzioni. Spazio delle funzioni test. Distribuzioni. Spazio L1loc(R). Distribuzioni funzioni. La delta di Dirac. Successioni di distribuzioni. Operazioni. Derivata di una distribuzione. Casi particolari notevoli. Distribuzioni temperate. Trasformazione di Fourier di una distribuzione temperata. Principali proprietà.

Testi di riferimento

1) G. C. BAROZZI, Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli, Bologna, 2003.

2) M. BRAMANTI, Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2019.

3) G. DI FAZIO - M. FRASCA, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi, Bologna, 2003.



 

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Serie di Fourier.1)-3)
2Il teorema dei residui.1)-3)
3Trasformate di Fourier e di Laplace.1)-3)
4Spazi di funzioni test. Distribuzioni  e distribuzioni temperate..1)-3)

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

Durante il corso verranno effettuate due prove scritte in itinere, una a metà corso e una alla fine. Gli studenti che le superano entrambe sono dispensati dal sostenere la prova scritta completa prevista per ogni appello. Superata la prova scritta, bisogna sostenere un colloquio orale. 

Sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti.  Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Non è prevista la media tra il voto dello scritto e quello dell'orale.

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.
24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone,  risolve gli esercizi con pochi errori.
28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Si rinvia a Studium.