FISICA MATEMATICA II

Anno accademico 2023/2024 - Docente: Massimo TROVATO

Risultati di apprendimento attesi

Il corso persegue quale obiettivo principale la trattazione teorica della meccanica classica tramite lo studio della Meccanica Analitica . Il corso consente allo studente di collegare gli argomenti svolti con i concetti appresi in Analisi Matematica I, Analisi Matematica II, Geometria I, Fisica generale I e Fisica Matematica I. 

Il corso di Fisica Matematica II, si prefigge lo scopo di completare  il programma svolto nel corso di Fisica matematica I, e persegue quale obiettivo principale quello di trattare la meccanica classica, con strumenti matematici più evoluti quali i moderni metodi variazionali. Verranno quindi derivate le equazioni del moto per un generico sistema fisico, a partire da considerazioni geometriche e proprietà di simmetria dello spazio-tempo, utilizzando principi variazionali generali sia nello spazio delle configurazioni che nello spazio delle fasi. Verrà quindi analizzata la profonda connessione tra le proprietà geometriche di un dato sistema fisico e le leggi della fisica che lo governano. I principi variazionali sono stati, e sono allo stato attuale, strumenti essenziali per la descrizione di tutta la fisica moderna (classica e non classica). A questo scopo, come obbiettivo finale mostreremo come la Meccanica Analitica possa essere utilizzata anche per descrivere sistemi non necessariamente meccanici (campi elettromagnetici) e non necessariamente classici (caso relativistico). Così, la parte finale del corso sarà dedicata brevemente allo studio dei principi variazionali applicati, nello spazio degli eventi, al moto di una particella carica in un campo elettromagnetico, connettendo questa parte del programma con lo studio dei potenziali generalizzati.

In particolare, in riferimento anche ai cosiddetti "Descrittori di Dublino" il corso avrà lo scopo di raggiungere le seguenti competenze trasversali:

1) Conoscenza e capacità di comprensione:
Il corso si prefigge lo scopo di fornire strumenti matematici (quali teoremi, procedure dimostrative ed algoritmi) che permettono di affrontare applicazioni reali in: matematica applicata, fisica, informatica ed altro. Lo studente con tali strumenti matematici dovrà avere nuove capacità matematiche utili a risolvere problematiche teoriche e applicative.

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Alla fine del corso si dovrà acquisire una conoscenza e una comprensione delle nuove tecniche matematiche utili per tutti i possibili collegamenti tra gli argomenti del corso e, se possibile, proporre nuove problematiche non trattate con gli studenti.

3) Autonomia di giudizio:
Il corso, basato su un metodo logico deduttivo, darà allo studente capacità autonome di giudizio per discernere metodi di dimostrazioni non corrette, inoltre lo studente, mediante un ragionamento logico, dovrà affrontare adeguate problematiche di meccanica, e più in generale di matematica applicata, cercando di risolverle con l'aiuto interattivo del docente.

4) Abilità comunicative:
Nella prova finale di esame lo studente dovrà dimostrare di aver raggiunto una adeguata maturità espositiva delle varie tecniche matematiche apprese.

5) Capacità di apprendimento:
Gli studenti devono acquisire le competenze necessarie per intraprendere studi successivi (laurea magistrale) con un alto grado di autonomia. Il corso oltre a proporre argomenti teorici presenta argomenti che potranno essere utili in vari campi lavorativi.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L’insegnamento verrà svolto mediante lezioni in aula tenute dal docente. In tali lezioni il programma verrà suddiviso in sezioni: “Brevi richiami di Fisica Matematica I”; “Principi Variazionali in Meccanica”; Principi variazionali in teoria dei campi elettromagnetici. In ognuna di tali sezioni il docente dapprima affronterà i principali argomenti teorici e poi mostrerà come tali argomenti possano legarsi a possibili applicazioni. In seguito, verranno presentati e discussi esercizi allo scopo di individuare e discutere soluzioni ed applicazioni su argomenti relativi ai risultati teorici.

Il corso è costituito complessivamente da 6 CFU dei quali:

5 CFU (corrispondenti a 7 ore ciascuno) sono dedicati a lezioni teoriche in Aula per un totale di 35 ore, e
1 CFU (corrispondenti a 12 ore) sono dedicati ad esercitazioni in Aula.
Il corso, di 6 CFU, comprende quindi complessivamente 47 ore di attività didattiche.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. Filippo Stanco

Prerequisiti richiesti

(indispensabile) calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu variabili reali.

(indispensabile) concetti fisici di base di meccanica classica, in particolare relativi alla cinematica e dinamica per sistemi di punti materiali e per sistemi continui 1D e 2D. 

(Importate) simbologia associata alle grandezze fisiche, dimensioni e sistemi di unità di misura.

(utile) nomenclatura e proprietà di linguaggio per la descrizione fisica elementare della meccanica classica

Come previsto dal regolamento didattico del CdS in Matematica,  per poter sostenere l'esame di Fisica Matematica II è necessario aver superato gli esami di : Analisi I, Analisi II, Fisica I. Fisica Matematica I

Frequenza lezioni

La frequenza è fortemente consigliata

Contenuti del corso

Cenni riassuntivi e collegamenti con il corso di Fisica Matematica I:

Algebra vettoriale e tensoriale. Matrice della metrica. Componenti covarianti e controvarianti di un vettore. Cambiamenti di Coordinate. Coordinate polari, sferiche e cilindriche. Riferimenti Naturali. Metrica indotta dalle trasformazioni di coordinate. Coordinate curvilinee.  Algebra Tensoriale. Componenti Covarianti, Controvarianti e miste di un tensore. Tensore di Levi-Civita ed applicazioni. Teoria dei potenziali generalizzati. Applicazioni al caso di un campo elettromagnetico ed alle forze apparenti. Nozioni introdotte sullo spazio delle configurazioni. Vettori tangenti e Spazio tangente.

Principi variazionali in meccanica:

Principi variazionali ed equazioni di Lagrange nello Spazio delle Configurazioni. Spazio tangente. Funzionale di Hamilton. Variazione prima del funzionale di Hamilton. Principio di Hamilton nello spazio delle configurazioni. Gauge invarianza della variazione prima del funzionale di Hamilton ed applicazioni. Azione. Principio di minima azione di Maupertuis. Caso di una particella Isolata. Geodetiche e correlazione con la legge di inerzia. Problema del calcolo delle Geodetiche. Il problema della brachistocrona. Connessione tra il Principio di minima azione ed il principio di Fermat. Cenni sulla teoria di De Broglie. Spazio delle fasi. Spazio duale dello spazio tangente. Formalismo Hamiltoniano. Trasformazioni di Legendre. Equazioni di Hamilton. Simmetrie e leggi di conservazione. Teorema di Noether. Parentesi di Poisson. Connessione tra le Parentesi di Poisson e gli integrali primi. Teorema di Poisson. Trasformazioni canoniche. Ciclicità delle variabili. Trasformazione canonica indotta da una trasformazione puntuale. Connessione tra le trasformazioni canoniche e le forme differenziali esatte. Funzioni Generatrici di una trasformazione canonica. Connessioni tra la Trasformazioni canoniche e le Trasformazioni di Gauge. Connessione tra le Parentesi di Poisson e le Trasformazioni Canoniche. Teoria di Hamilton-Jacobi. Connessione tra la teoria di Hamilton-Jacobi e le trasformazioni canoniche. Teorema di Jacobi. Equazione di Hamilton-Jacobi e sue applicazioni. Problema a due corpi e determinazione esplicita delle traiettorie del moto.

Principi variazionali in teoria dei campi elettromagnetici :

Introduzione alla teoria della relatività speciale. Formalismo 4-dimensionale e spazio degli eventi. Metrica non euclidea e metrica di Minkowski. Tipi di 4-intervalli. Formulazione Lagrangiana ed equazioni di moto dedotte da principi variazionali. Variazione di un funzionale di campo. Tensore del campo Elettromagnetico. Gauge invarianza e connessione con i potenziali generalizzati. Invarianti del campo Elettromagnetico e costruzione della Lagrangiana utilizzando i teoremi di rappresentazione per funzioni scalari del gruppo di Lorentz. Formulazione generale per le equazioni lineari e non lineari di Maxwell, interpretazione microscopica, verifiche sperimentali.

Testi di riferimento

1. Appunti del docente.    (https://www.dmi.unict.it/trovato/PDF%20Fisica%20Matematica%20II%20AA%202020-2021.html)

2. S. Rionero, Lezioni di Meccanica razionale, Liguori Editore.

3. Strumia Alberto, Complementi di Meccanica Analitica                                     (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
4. H. Goldstein, Meccanica classica, Zanichelli, Bologna.
5. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 1: Meccanica, Editori Riuniti.
6. Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità. ( http://www.science.unitn.it/~moretti/runfismatI.pdf )
7. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 2: Teoria dei campi, Editori Riuniti.

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Principi variazionali e principio di Hamilton App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti
2Principio della minima azione. App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti
3Simmetrie e leggi di conservazione, Teorema di Noether. App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti
4Problema dei due corpi.App. docente, Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,
5Equazioni di Hamilton.App. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti
6Trasformazioni canonicheApp. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti
7Teoria di Hamilton-JacobiApp. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein, Landau-Lifsits Vol.1,Moretti
8Parentesi di PoissonApp. docente, Strumia (Compl. Mecc. Anal.), Goldstein,
9Principi variazionali in teoria dei campi elettomagneticiApp. docente, Goldstein, Landau-Lifsits Vol.2

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

Non verrà espletata alcuna prova in itinere.

La verifica della preparazione viene effettuata soltanto mediante esami orali, che si svolgono durante i periodi previsti nei calendari accademici del Dipartimento, in date (appelli d'esame) pubblicate nel Calendario annuale delle sessioni d'esame (o Calendario degli esami).

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Nei criteri adottati per la valutazione della prova orale si valuterà:
1) la pertinenza delle risposte rispetto alle domande formulate,
2) il livello di approfondimento dei contenuti esposti,
3) la capacità di collegamento con altri temi oggetto del programma e con argomenti già acquisiti in corsi di anni precedenti, la capacità di riportare esempi,
4) la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Le domande, per l'esame orale, riportate nel link sottostante, non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi

https://www.dmi.unict.it/trovato/Domande_OraleB_ITA.pdf

https://www.dmi.unict.it/trovato/PDF%20Fisica%20Matematica%20II%20AA%202020-2021.html