GEOMETRIA I

Anno accademico 2023/2024 - Docente: ELENA MARIA GUARDO

Risultati di apprendimento attesi

L'obiettivo fondamentale del corso di Geometria I è quello di fornire alcuni strumenti di Algebra Lineare per il calcolo di autovettori ed autovalori di un endomorfismo tra spazi vettoriali, quali ad esempio, le proprietà delle matrici. Si forniscono alcune nozioni di Geometria nel piano e nello spazio, ed alcuni strumenti per lo studi di coniche del piano e quadriche dello spazio. In particolare, alla fine del corso, gli studento dovranno aver acquisito:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):  -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali  nell'ambito dell'algebra, della geometria analitica, dell'algebra lineare, della geometria delle curve; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti dagli studenti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) : dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute;  - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente  verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.

Autonomia di giudizio (making judgements) acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di geometria; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrono allo studente attività di esercitazione durante il corso e di supporto integrativo al corso di Geometria I; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto.

Abilità comunicative (communication skills) : - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria analitica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di elaborati scritti. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.

Capacità di apprendimento (learning skills):  - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Geometria 1 - 12 CFU - 94 ore totali

Organizzazione didattica

300 ore d'impegno totale

206 di studio individuale
70 di lezione frontale
24 di esercitazione

Lezioni frontali e svolgimento di esercizi in classe. Alcune lezioni si svolgeranno esclusivamente alla lavagna, altre mediante appunti da dividere agli studenti. Ciò dipenderà dal tipo di argomento trattato.

In collaborazione con i docenti di Algebra e di Analisi Matematica, verranno svolti degli incontri periodici durante i quali  gli studenti  saranno guidati a riflettere sui collegamenti fra le tre discipline, in modo da apprezzare l'unitarietà e la multidisciplinarietà del Sapere matematico.

Una parte del programma (max 3CFU) potrà essere svolta da un professore straniero e/o italiano esperto.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof.ssa Daniele.

Prerequisiti richiesti

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Per gli studenti con obblighi formativi aggiuntivi sono previsti dei corsi di recupero.

Frequenza lezioni

Propedeuticità: nessuna

Frequenza: fortemente consigliata

Contenuti del corso

ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):

  1. Operazioni su un insieme.
  2. Matrici ad elementi in un campo e loro proprietà.
  3.  Spazi vettoriali e loro proprietà .
  4.  Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
  5. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari.
  6. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
  7. Prodotto scalare in uno spazio reale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali.
  8. Spazi Affini

GEOMETRIA ANALITICA (II semestre,  parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)

  1. I vettori geometrici dello spazio ordinario. 
  2. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio.  Rette reali del piano e loro equazioni.  Ortogonalità e parallelismo. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Distanze.
  3. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Classificazione delle coniche irriducibili. Polarità. Fasci di coniche.
  4. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Sezioni delle quadriche con piani tangenti. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sfere. Sezioni piane di una quadrica.

Testi di riferimento

  1. Note del docente su Algebra Lineare da integrare
  2.  Note del docente su Geometria da integrare
  3.  E. Sernesi,  Geometria 1,Bollati- Boringhieri, II edition, 1989 (Geometry)

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetricheTesto 1), 3)
2Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace (no dim). Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim). Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.testo 1), 3)
3Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi: Kn, Km,n, K[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz (no dim.). Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann (no dim). Dimensione di una somma diretta.testo 1), 3)
4Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili.Testo 1), 3)
5Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.Testo 1), 3)
6Spazi con prodotto scalare (reale e complesso). Basi ortogonali, Insiemi e basi ortogonali in uno spazio euclideo. Basi ortonormali. Ortogonalizzazione (Gram-Schmidt). Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali. Teorema spettrale per matrici reali simmetriche (enunciato).Testo 1), 3)
7Spazi affini, geometria nel piano affine, geometria nello spazio affine di dimensione 32), 3) Chapter 1, section 7-10
8I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti.testo 2). 3)
9Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci di piani. Distanze.testo 2), 3)
10Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Tangenti. Polarità. Fasci di coniche.testo 2), 3)
11Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Rette tangenti e piano tangente. Polarità. Punti parabolici, iperbolici ed ellittici. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi. Sfere. Sezioni piane di una quadrica. Superfici di rotazionetesto 2), 3)

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

a) Verifica durante il corso: Periodicamente, durante le esercitazioni gli studenti potranno essere invitati a partecipare risolvendo alla lavagna degli esercizi proposti dal docente o dagli studenti stessi. Questo risulta utile per monitorare il livello di apprendimento degli studenti. Durante le lezioni, inoltre, gli studenti saranno invitati a citare definizioni e risultati trattati nelle lezioni precedenti, per favorire un apprendimento consapevole della disciplina. Durante le ore di attività integrative saranno svolte delle esercitazioni utili all’autovalutazione.

b) Prove in itinere. Sono previste due prove in itinere della durata di circa due ore e mezza. Entrambe le prove consistono in una prova scritta e si intendono superate con una votazione non inferiore ai 15/30 su almeno tre degli esercizi proposti. Ciascuna prova ha un valore pari a circa 1/3 dei CFU totali della materia (ovvero circa 4 crediti ciascuna). Essi verranno acquisiti solo e soltanto dopo aver superato entrambe le prove in itinere ed una prova orale. (vedi esame finale)

La prima prova in itinere si svolgerà durante il primo periodo di pausa delle lezioni.  Essa verterà su circa metà del programma.

La seconda prova in itinere si svolgerà alla fine del corso e verterà sulla seconda parte del programma (complementare alla prima parte). Generalmente, le date della prima e della seconda prova coincidono con quelle degli appelli previsti nella sessione di febbraio e giugno, rispettivamente, secondo il calendario delle prove scritte.

Le prove in itinere (superate entrambe con un voto non inferiore ai 15/30) hanno durata fino alla scadenza della sessione autunnale, ovvero l’esame orale deve essere sostenuto entro e non oltre le date d’esame previste dalla fine del corso fino alla sessione autunnale.

Chi non supera una delle due prove in itinere, dovrà sostenere l'esame finale (punto a)).

Il superamento di entrambe le prove in itinere darà accesso alla prova orale.

N.B.:Lo studente acquisirà i CFU totali solo dopo aver superato entrambe le prove in itinere scritte e la prova orale.

c) esame finale: l'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale alla fine del corso annuale e secondo il calendario degli esami. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi, tecnici e dimostrativi. La prova orale verte su tutti gli argomenti del programma svolto. Il docente avrà cura di pubblicizzato appena finito il corso e, comunque, prima dell'inizio della prima sessione d'esami.

La prova scritta avrà una durata di circa due ore e mezza e può essere sostituita da due prove in itinere, entrambe della durata di due ore e mezza circa, 
la prima delle quali si svolgerà a metà corso durante la prima pausa delle lezioni e la seconda immediatamente a fine corso. 

Nel caso in cui lo studente non superi una delle due prove in itinere, dovrà sostenere l'esame finale.

La prova scritta è fissata secondo il calendario. La prova orale potrebbe anche non essere sostenuta nella data del calendario.

Per il superamento della prova scritta dell'esame finale lo studente dovrà svolgere almeno due quesiti di Algebra Lineare ed uno di Geometria (o viceversa). La votazione della prova scritta consigliata per sostenere la prova orale è non inferiore a 15/30. 

d) criteri per l’attribuzione del voto: sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti.  Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Si terrà in ogni caso conto, soprattutto nei primi appelli, del fatto che lo studente frequenta ancora il primo anno e difficilmente avrà acquisito la maturità che potrà essere invece richiesta negli anni successivi. Non è prevista la media tra il voto dello scritto e dell'orale

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.
24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone,  risolve gli esercizi con pochi errori.
28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

NOTA BENE La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Esercizi assegnati ed esercizi svolti sul teams dell'insegnamento (piattaforma MS Teams)

oppure su http://studium.unict.it

Domande frequenti esercizi/esami

1) Definizione di spazio vettoriale. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Esempi. Teorema sulle dimensioni di Nucleo ed Immagine di un’applicazione lineare. Teorema dell'omomorfismo e collegamento con l'insegnamento di Algebra. Controimmagine di un vettore. Teorema di Cramer e Rouchè-Capelli. Vettori linearmente indipendenti, Criterio di indipendenza lineare. Basi. Esempi. Criterio di indipendenza degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice. Prodotti scalari reali e/o complessi. Matrice associate ad un prodotto scalare.

2) Rette nel piano. Rette e piani nello spazio. Classificazione coniche. Parabole, Iperboli, iperboli equilatere, ellissi, circonferenze. Rette tangenti in un punto ad una conica. Polarità. Classificazione quadriche. Iperboloidi, paraboloidi, ellissoidi, sfere. Piani tangenti in un punto ad una quadrica. Punti iperbolici, parabolici ed ellittici .Vertici. Coni e cilindri. Sezioni piane di quadriche. Superfici di rotazioni. Esempi senza uso degli invarianti ortogonali.

3) Proprietà di spazi affini